Coeficiente de ajuste también conocido como exponente de Lundberg.

El coeficiente de ajuste

David J. Santana

30 de octubre de 2016

1. Modelo de Cramér-Lundberg.

Supongamos el modelo de Cramér-Lundberg, para cada \(t>0\) \[C(t)=u+ct-\sum_{i=1}^{N(t)}Y_i,\] donde \(C(0)=u\) es el capital inicial de una aseguradora, \(c>0\) representa la tasa de primas y \(\left\{N(t)\right\}_{t>0}\) es un proceso de Poisson con intensidad \(\lambda>0\) y representa el número de reclamos que han llegado hasta el tiempo \(t\) y por último las v.a.i.i.d. \(Y_1,Y_2,\ldots\), no negativas y tales que \(E(Y_i)=\mu<\infty\), representan el tamaño de los reclamos. Supondremos que se cumple la condición de ganancia neta \(c>\lambda \mu\).

2. El coeficiente de ajuste.

Definición 1.

A la posible solución \(r>0\) de la siguiente ecuación se le llama coeficiente de ajuste o exponente de Lundberg. \begin{equation} \label{ec.coef.ajuste} M(r)= \frac{c}{\lambda}r+1, \end{equation}

donde \(M(r)\) es la función generadora de momentos común del tamaño de los reclamos. En caso de que exista, lo representaremos por \(R\).

Si suponemos que \(c = (1+\theta)\lambda \mu\) para \(\theta>0\) entonces la condición de ganancia neta se cumple y la ecuación anterior se convierte en la que llamaremos ecuación de Lundberg: \begin{equation}\label{ec.coef.ajuste.theta} M(r)= (1+\theta)\mu r+1. \end{equation}

El parámetro \(\theta\) es conocido como factor de recargo.

3. Aproximación al coeficiente de ajuste.

La función \(M(r)\) puede tomar muchas formas, pero podemos encontrar cómo representarla en función de los momentos de \(Y\) utilizando el polinomio de Taylor como sigue. Sea \(r>0\),

\begin{eqnarray*} M(r)&=&E(exp(rY))\\ &=&E\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(rY)^k}{k!}\right)\\ &=&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{r^k}{k!}E\left(Y^k\right)\\ &=&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{r^k}{k!}\mu_k \\ \label{genradora-como-taylor} &=& 1 + \mu r + \sum_{k=2}^{\infty}\frac{\mu_k}{k!}r^k. \end{eqnarray*} La esperanza de la suma infinita fue igual a la suma infinita de las esperanzas utilizando el teorema de la convergencia monótona ya que todos los sumando son positivos. Sustituyendo esta presentación de \(M(r)\) en la ecuacion de Lundberg se llega a lo siguiente, \[1 + \mu r + \sum_{k=2}^{\infty}\frac{\mu_k}{k!}r^k= (1+\theta)\mu r+1 ,\] simplificando y dividiendo ambos lados entre \(r\), \[\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\mu_k}{k!}r^{k-1} = \theta \mu. \] Si sólo tomamos los primeros dos sumandos, se llega a la siguiente ecuación cuadrática \begin{equation} \mu_3 r^{2} + 3 \mu_2 r - 6 \theta \mu = 0, \end{equation} la cual tiene las siguientes soluciones: \begin{eqnarray} r_1 & = & \frac{-3 \mu_2 + \sqrt{9\mu_2^2 + 24 \theta \mu\mu_3}}{2\mu_3}\\ r_2 & = & \frac{-3 \mu_2 - \sqrt{9\mu_2^2 + 24 \theta \mu\mu_3}}{2\mu_3}, \end{eqnarray} de las cuales se puede observar que \(r_2<0\), por lo cual proponemos como una aproximación al coeficiente de ajuste a \begin{equation}\label{coef.aprox} \hat{R} = \frac{-3 \mu_2 + \sqrt{9\mu_2^2 + 24 \theta \mu\mu_3}}{2\mu_3}. \end{equation}

4. Algunos ejemplos.

Ejemplo 1.

Supongamos \(\theta = 0.1\), \(Y\sim Exp(5)\), entonces \(M(r) = \frac{5}{5-r}\) para \(r<5\). Sustituyendo en la ecuación de Lundberg, \[\frac{5}{5-r}= 1.01(1/5) r+1\] lo cual lleva a \[R = 5/101 = 0.04950495.\] Ahora usando la aproximación vista, \begin{eqnarray} \hat{R} &=& \frac{-3 \mu_2 + \sqrt{9\mu_2^2 + 24 \theta \mu\mu_3}}{2\mu_3}\\ &=& \frac{-3 2/25 + \sqrt{9(2/25)^2 + 24 (0.01)(1/5)(6/125)}}{2(6/125)}\\ &=& 0.04950976. \end{eqnarray}

Ejemplo 2.

Supongamos \(\theta = 0.1\), \(Y\sim Gamma(3.5,3.5)\), entonces \(M(r) = \left(\frac{3.5}{3.5-r}\right)^{3.5}\) para \(r<3.5\). Sustituyendo en la ecuación de Lundberg, \[\left(\frac{3.5}{3.5-r}\right)^{3.5}= 1.01r+1\] y esta ecuación no se puede resolver analíticamente, sin embargo usando la aproximación vista , \begin{eqnarray*} \hat{R} &=& \frac{-3 \mu_2 + \sqrt{9\mu_2^2 + 24 \theta \mu\mu_3}}{2\mu_3}\\ &=& \frac{-3 (4.5/3.5) + \sqrt{9(4.5/3.5)^2 + 24 0.01 (4.5(5.5)/(3.5)^2)}}{2(4.5(5.5)/(3.5)^2)}\\ &=&0.01543083. \end{eqnarray*}

Y se puede comprobar sustituyendo en la ecuación \(\left(\frac{3.5}{3.5-r}\right)^{3.5}= 1.01r+1\) que \(\hat{R}\) debe ser casi igual a la solución. A continuación la solución numérica.

#########################################
# Sea G(r)=(3.5/(3.5-r))^3.5- 1.01r-1
# entonces
#
#  G'(r)=(3.5/(3.5-r))^4.5- 1.01.
#
# Luego por Newton-Rhapson
# 
# r_{n+1}=r_{n}-G(r_{n})/G'(r_{n})
#########################################
G <- function(x){(3.5/(3.5-x))^3.5- 1.01*x-1}
Gprima <- function(x){(3.5/(3.5-x))^4.5- 1.01}
rr <- 0.01
aux <- 1
while(aux > 0.0000000001){
        aux <- rr
        rr <- rr - G(rr)/Gprima(rr)  
        aux <- abs(aux-rr)
}
rr

## [1] 0.01542995

Ejemplo 3.

Supongamos \(\theta = 0.1\), \(Y\sim gamma(5,1)\), entonces \(M(r) = \frac{1}{(1-r)^5}\) para \(r<1\). Sustituyendo en la ecuación de Lundberg, \[\frac{1}{(1-r)^5} = 1.01(5)r+1\] lo cual lleva al siguiente polinomio de grado 5, \[0.05-15.25r^1+40.5r^2-45.5r^3+24.25r^4-5.05r^5=0,\] el cual tiene una raiz real y 4 raíces complejas.

polyroot(c(0.05,-15.25,+40.5,-45.5,+24.25,-5.05))

## [1] 0.003307636-0.0000000i 0.862395727+0.6770299i 0.862395727-0.6770299i
## [4] 1.536940554-0.3576908i 1.536940554+0.3576908i

Por lo tanto \(R=0.003307636\).

Ahora usando la aproximación, \begin{eqnarray*} \hat{R} & = & \frac{-3 \mu_2 + \sqrt{9\mu_2^2 + 24 \theta \mu\mu_3}}{2\mu_3}\\ & = & \frac{-3(30) + \sqrt{9(30)^2 + 24 (0.01)(5)(210)}}{2(210)}\\ & = & 0.003307803. \end{eqnarray*}