La fórmula de Pollaczeck-Khinchine
David J. Santana
18 de noviembre de 2016
La fórmula de Pollaczeck-Khinchine también es conocida como fórmula de Beekman. La primera fue generada en la teoría de colas como resultado de la transformada de Laplace de la distribución del tiempo de espera cuando los tiempos de servicio tienen distribución exponencial (véase por ejemplo Takacs (1971) o Asmussen y Albrecher (2010) págs. 75–82, como una referencia más reciente), y la segunda fue obtenida en el contexto del proceso de riesgo (véase Beekman (1968) o Panjer (1992), págs. 370–371), donde es obtenida invirtiendo la transformada de Laplace de \(\psi\), además en Feller (1971), pág. 410, se puede ver un análisis con caminatas aleatorias llegando a una fórmula equivalente. En esta sección se desarrolla la fórmula usando el enfoque del que es conocido como proceso de superávit.
1.Severidad de la ruina.
Definición 1.
La probabilidad de ruina con severidad no mayor a \(y> 0\) se define como: \[\begin{equation*} G(u,y)=P(\tau<\infty,|U(\tau)|\le y\mid U(0)=u),\quad u\ge 0. \end{equation*}\]Proposición 1.
La función \(G(0,y)\) está dada por: \[\begin{equation}\label{severidad-u-cero} G(0,y)=\frac{1}{(1+\theta)\mu}\int_{0}^{y}[1-F(x)]dx,\quad y\ge 0. \end{equation}\]Demostración: Véase Teorema 13.5.1 de Bowers et. al (1997) págs. 415–416 y 427–430.
Proposición 2.
La probabilidad de ruina para un capital inicial de cero es: \[\begin{equation}\label{psi0} \psi(0)=\frac{1}{1+\theta}. \end{equation}\] Demostración: Usando la Proposición 1: \[\begin{eqnarray*} \psi(0)&=&\lim\limits_{y\rightarrow\infty}G(0,y)\\ &=&\lim\limits_{y\rightarrow\infty}\frac{1}{(1+\theta)\mu}\int_{0}^{y}[1-F(x)]dx\\ &=&\frac{1}{(1+\theta)\mu}\int_{0}^{\infty}[1-F(x)]dx\\ &=&\frac{1}{1+\theta}. \end{eqnarray*}\]Ahora se define la distribución de equilibrio de una función de distribución, esta función es absolutamente continua y sirve para modelar los procesos de escalera, véase por ejemplo Asmussen y Albrecher, pág. 62, donde se discute con otro enfoque estas distribuciones.
Definición 2.
Dada una función de distribución arbitraria \(F(x)\) de una variable aleatoria con soporte no negativo y media \(\mu<\infty\), su función de distribución de equilibrio denotada por \(F_e(x)\) es definida como: \[\begin{equation} F_e(x)=\frac{1}{\mu}\int_{0}^{x}[1-F(y)]dy. \end{equation}\] De la misma manera su densidad de equilibrio \(f_e(x)\) se define como: \[\begin{equation} \label{equil} f_e(x)=\frac{1}{\mu}[1-F(x)]. \end{equation}\]Proposición 3.
Dado que hay una primera caída debajo del capital inicial \(u\), la variable \(L\) que representa el monto de la caída medido desde \(u\) hacia abajo, tiene como función de densidad a la densidad de equilibrio de la distribución del tamaño de los reclamos, es decir, \[\begin{equation} \label{tnolie} f_L(y)=f_e(y)=\frac{1}{\mu}[1-F(y)]. \end{equation}\]Demostración:
Definimos el tiempo de la primera caída \(\tau_u\) como el primer momento donde \(U(t)\) está por debajo del capital inicial \(u\), formalmente, \[\begin{equation*} \label{flie} \tau_u=\inf\{t>0:U(t)<U(0)=u\}, \end{equation*}\] suponiendo que el conjunto de la derecha es distinto del vacío, en caso contrario \(\tau_u=\infty\). Las tercera igualdad del siguiente desarrollo se da por () y la última por () y (). \[\begin{eqnarray*} F_L(y)&=&P\left(L\le y\right)\\ &=&P\left(u-U(\tau_u)\le y \mid \tau_u<\infty, U(0)=u\right)\\ &=&P\left(-U(\tau_0)\le y \mid \tau_0<\infty, U(0)=0\right)\\ &=&P\left(|U(\tau)|\le y \mid \tau<\infty,U(0)=0\right)\\ &=&P\left(|U(\tau)|\le y, \tau<\infty \mid U(0)=0\right)/P\left(\tau<\infty\mid U(0)=0\right)\\ &=&\frac{G(0,y)}{\psi(0)}\\ &=&\frac{1}{\mu}\int_{0}^{y}[1-F(x)]dx. \end{eqnarray*}\] Derivando esta expresión de \(F_L(y)\) con respecto a \(y\), \[\begin{equation} f_L(y)=\frac{1}{\mu}[1-F(y)]. \end{equation}\]2.Proceso de superávit.
Definición 3.
Al proceso de riesgo modificado \(\{Z(t)\}_{t\ge 0}\) definido como \[\begin{equation*} Z(t)=u-U(t)=\sum_{j=0}^{N(t)}Y_j-ct, \end{equation*}\]le llamaremos proceso de superávit.
Notar que \(Z(0)=0\) y que debido a que \(Z(t)\rightarrow -\infty\) casi seguramente bajo la hipótesis de ganancia neta, entonces podemos escribir la probabilidad de ruina como: \[\begin{equation} \label{psimax} \psi(u)=P\left(Z(t)>u\text{ para alguna } t>0\right)=P\left(\max\limits_{t>0}\{Z(t)\}>u\right). \end{equation}\]Ahora, analizamos la variable aleatoria \(M=\max\limits_{t>0}\{Z(t)\}\). La variable aleatoria \(M\) puede escribirse como una suma geométrica compuesta (para un primer acercamiento sobre este tipo de variables revisar este artículo). En otras palabras, como un modelo colectivo cuya variable de conteo tiene distribución geométrica. En el excelente libro de Willmot (2001), págs. 107–140, se dedica un capítulo entero a estudiar varias propiedades de este tipo de variable aleatoria.
Definición 4.
Definimos el tiempo del i-ésimo récord del proceso \(\{Z(t)\}_{t\ge 0}\) como \[\begin{equation} \tau_i^*=\inf\{t>\tau_{i-1}^*:Z(t)>Z(\tau_{i-1}^*)\},\text{ para } i=1,2,\ldots, \end{equation}\]donde \(\tau_0^*=0\). Dado que el conjunto \(\{t>\tau_{i-1}^*:Z(t)>Z(\tau_{i-1}^*)\}\) puede ser vacío, en ese caso definimos \(\tau_i^*=\infty\). Definimos como el número de récords del proceso \(\{Z(t)\}_{t\ge 0}\) a la variable aleatoria \[K=\max\{n:\tau_n^*<\infty\},\] si el conjunto es vacío significará que el proceso \(\{Z(t)\}_{t\ge 0}\) tiene cero récords. Notar que \(K<\infty\) debido a que \(Z(t)\rightarrow -\infty\) casi seguramente, bajo la hipótesis de ganancia neta.
Observación 1.
Notar que si para algún \(k\) se tiene que \(\tau_k^*<\infty\), entonces para \(i=1,2,\ldots,k-1\) se cumple que \(\tau_i^*<\infty\). Además, si \(\tau_m^*=\infty\) para algún valor de \(m\), entonces \(\tau_i^*=\infty\) para todo \(i\ge m\).
En la siguiente proposición se establece que \(K\) tiene distribuci'on geométrica y luego que \(M\) es una suma geométrica compuesta.
Proposición 4.
Sean \(Y_1^*,Y_2^*,\ldots\) variables aleatorias definidas por \[\begin{equation} Y_1^*=Z(\tau_1^*)\quad\text{ y }\quad Y_i^*=Z(\tau_i^*)-Z(\tau_{i-1}^*),\quad i\ge 2, \end{equation}\]entonces:
\(P(K=k)=[1-\psi(0)][\psi(0)]^k, \quad k=0,1,2,\ldots\).
\(Y_1^*,Y_2^*,\ldots\) son variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas con función de densidad igual a \(f_e(x)\) definida en () e independientes de \(K\).
- \(M=\sum_{j=0}^{K}Y_j^*\) y por tanto \[\begin{equation}\label{psi-geo-comp} \psi(u)=P\left(\sum_{j=0}^{K}Y_j^*>u\right). \end{equation}\]
Demostración:
- Notar que el tiempo de la primera caída definido por () es equivalente al tiempo del primer récord, por lo tanto \[\begin{eqnarray*} P(K=0)&=&P(\tau_1^{*}=\infty)\\ &=&P(\tau_u=\infty)\\ &=&P(\tau=\infty\mid U(0)=0)\\ &=&1-\psi(0). \end{eqnarray*}\] Por otro lado, la probabilidad de que únicamente haya un récord es igual a la probabilidad de que \(\tau_1^*<\infty\) y \(\tau_2^*=\infty\), pero como el proceso Poisson compuesto tiene incrementos independientes y estacionarios, entonces: \[\begin{eqnarray*} P(K=1)&=&P(\tau_1^{*}<\infty, \tau_2^{*}=\infty)\\ &=&P(\tau_2^{*}=\infty\mid \tau_1^{*}<\infty )P(\tau_1^{*}<\infty)\\ &=&P(\tau_1^{*}=\infty)P(\tau_u<\infty)\\ &=&[1-\psi(0)]P(\tau<\infty\mid U(0)=0)\\ &=&[1-\psi(0)][\psi(0)]. \end{eqnarray*}\] Ahora si definimos el evento \(A_k=\left(\tau_1^{*}<\infty,\ldots,\tau_k^*<\infty\right)\), para \(k=2,3,\ldots\) se tiene que: \[\begin{eqnarray*} P(A_k)&=&P(\tau_k^*<\infty\mid A_{k-1})P(A_{k-1})\\ &=&P(\tau_k^*<\infty\mid \tau_{k-1}^{*}<\infty)P(A_{k-1})\\ &=&P(\tau_1^*<\infty)P(A_{k-1})\\ &=&\psi(0)P(A_{k-1})\\ &&\vdots \\ &=&[\psi(0)]^k. \end{eqnarray*}\] La segunda y tercera igualdad son válidas porque \(\{Z(t)\}_{t\ge 0}\) tiene incrementos independientes y estacionarios.\ Por otro lado, \[\begin{eqnarray*} P(K=k)&=&P(\tau_{k+1}^{*}=\infty, A_k)\\ &=&P(\tau_{k+1}^{*}=\infty\mid A_k)P(A_k)\\ &=&P(\tau_1^{*}=\infty)[\psi(0)]^k\\ &=&[1-\psi(0)][\psi(0)]^k. \end{eqnarray*}\]
Notar que cada \[Y_i^*=Z(\tau_i^*)-Z(\tau_{i-1}^*)\] representa el incremento de \(\{Z_t\}_{t\ge 0}\) en el récord \(i\), como después de cada récord se puede reiniciar el proceso, cada uno de estos incrementos son independientes. Por otro lado el tamaño de cada incremento tiene una distribución igual a la de \(L\) según ().
Finalmente, la suma de los \(K\) incrementos en \(\{Z_t\}_{t\ge 0}\), nos da la altura máxima del proceso por lo que \(M=\max\limits_{t>0}\{Z(t)\}=\sum_{j=0}^{K}Y_j^*\).
3.Fórmula de Pollaczeck-Khinchine.
Proposición 4.
Usando la notación e hipótesis anteriores, la probabilidad de ruina para \(u>0\) se puede expresar como la siguiente suma: \[\begin{equation}\label{formPK} \psi(u)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\theta}{1+\theta}\left(\frac{1}{1+\theta}\right)^k[1-F_e^{*k}(u)], \end{equation}\]donde \(F_e^{*k}(u)=P(\sum_{j=0}^{k}Y_j^*\le u)\) para \(k=1,2,\ldots\)
Demostración:\ Usamos en orden la igualdad (), Proposición -3, la ley de la probabilidad total condicionando con respecto a la variable aleatoria \(K\), Proposición -1,2 y finalmente Proposición . \[\begin{eqnarray*} \psi(u)&=&P(M>u)\\ &=&P\left(\sum_{j=0}^{K}Y_j^*>u\right)\\ &=&\sum_{k=0}^{\infty}P\left(\sum_{j=0}^{K}Y_j^*>u\mid K=k\right)P(K=k)\\ &=&\sum_{k=0}^{\infty}P\left(\sum_{j=0}^{k}Y_j^*>u\right)[1-\psi(0)][\psi(0)]^k\\ &=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\theta}{1+\theta}\left(\frac{1}{1+\theta}\right)^k[1-F_e^{*k}(u)]. \end{eqnarray*}\]
La fórmula que se acaba de demostrar sirve para calcular a \(\psi(u)\) sólo en algunos casos donde se tiene conocimiento de las convoluciones de la distribución de equilibrio, por ejemplo en el caso de reclamos exponenciales, su distribución de equilibrio es de nuevo exponencial y por tanto sus convoluciones son Erlangs.
Ejemplo.
Calcular \(\psi(u)\), a partir de la fórmula de Pollaczeck-Khinchine, cuando el tamaño de los reclamos tiene distribución \(Exp(\alpha)\).
Primero hay que notar lo siguiente, \[f_e(x) = \frac{1}{\mu}\overline{F}(x)=\alpha e^{-\alpha x},\] Lo cual implica que \(f_e\) es una densidad \(Exp(\alpha)\) igual que la densidad del tamaño de los reclamos. Entonces, la \(n\)-ésima convolución es una distribución \(Gamma(n,\alpha)\), y por lo tanto: \[F_e^{*n}(x)= 1 - \sum_{l=0}^{n-1}e^{-\alpha x}\frac{(\alpha x)^l}{l!}.\]
Ahora para simplificar notación, sea \(\rho=\frac{1}{1+\theta}\), sustituyendo en la fórmula de Pollaczeck-Khinchine, \[\begin{eqnarray*} \psi(u)&=&\sum_{k=1}^{\infty}(1-\rho)\rho^k\left[1-F_e^{*k}(u)\right]\\ &=&(1-\rho)\sum_{k=1}^{\infty}\rho^k\left[\sum_{l=0}^{k-1}e^{-\alpha u}\frac{(\alpha u)^l}{l!}\right]\\ &=&(1-\rho)e^{-\alpha u}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{(\alpha u)^l}{l!}\sum_{k=l+1}^{\infty}\rho^k\\ &=&(1-\rho)e^{-\alpha u}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{(\alpha u)^l}{l!}\frac{\rho^{l+1}}{1-\rho}\\ &=&\rho e^{-\alpha u}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{(\alpha \rho u)^l}{l!}\\ &=&\rho e^{-\alpha u}e^{\alpha \rho u}\\ &=&\rho e^{-\alpha u(1-\rho)}, \end{eqnarray*}\]Por lo tanto \[\psi(u) = \frac{1}{1+\theta}exp\left(-\frac{\alpha\theta}{1+\theta}u\right).\]
Ejercicio.
Calcular \(\psi(u)\) a partir de la fórmula de Pollaczeck-Khinchine, cuando el tamaño de los reclamos tiene como función de densidad la siguiente mezcla de exponenciales. \[f(x)= \frac{1}{2}e^{-x}+e^{-2x}, \quad x>0.\] Suponer que \(c = \lambda = 1\).
Referencias.
Asmussen, S., & Albrecher, H. (2010). Ruin probabilities (Vol. 14). World scientific.
Beekman, J. A. (1968). Collective risk results. Transactions of the Society of Actuaries, 20, 182-199.
Bowers, N. L., Gerber, H. U., Hickman, J. C., Jones, D. A., & Nesbitt, C. J. (1997). Actuarial Mathematics, (Schaumburg, IL: Society of Actuaries).
Panjer, H. H., y Willmot, G. E. (1992). Insurance risk models. Society of Actuaries.
Takács, L. (1971). Discrete queues with one server. Journal of Applied Probability, 8(4), 691-707.
Willmot, G. E., & Lin, X. S. (2001). Lundberg approximations for compound distributions with insurance applications (Vol. 156). Springer Science & Business Media.
