Ecuación Integral

Probabilidad de ruina como ecuación integral

David J. Santana

11 de noviembre de 2016

1.Modelo de Cramér-Lundberg y la probabilidad de ruina.

Se trabajará con el proceso de riesgo de Cramér-Lundberg \(\left\{U(t)\right\}_{t\ge 0}\) definido como: \begin{equation} U(t)=u+ct-\sum_{j=0}^{N(t)}Y_j,\quad t\ge0, \end{equation}

donde el número de reclamos hasta el tiempo \(t\) es modelado con un proceso de Poisson \(\left\{N(t)\right\}_{t\ge 0}\) con intensidad \(\lambda>0\), el tamaño de las reclamaciones está representado por la sucesión de variables aleatorias \(\{Y_j\}_{j=0}^{\infty}\) y \(c>0\) representa la tasa de primas. Definimos \(Y_0=0\) y supondremos que los tamaños de las reclamaciones \(Y_1,Y_2,\ldots\), son v.a.i.i.d. cada una con media \(\mu<\infty\), independientes de \(N(t)\) para cualquier \(t>0\) y cuya función de distribución \(F(x)\) es continua. Sin pérdida de generalidad, supondremos que \(c=(1+\theta)\lambda \mu\) donde \(\theta>0\) es conocido como factor de recargo de la prima, esto garantiza que se cumpla la llamada condición de ganancia neta \(c>\lambda\mu\) que implica que \(\psi(u)<1\), véase Asmussen y Albrecher (2010), pág. 4. Se definen \[\tau=\inf\,\{t>0:U(t)<0\}\] y \[\psi(u) = P(\tau<\infty\mid U(0)=u)\] como el tiempo de ruina y la probabilidad de ruina respectivamente (la probabilidad de ruina en horizonte finito no es estudiada por lo que a partir de ahora se dirá probabilidad de ruina para referirnos a la probabilidad de ruina con horizonte infinito).

Observación.

El proceso de riesgo de Cramér-Lundberg tiene la ventaja de que el proceso \[ \left\{\sum_{j=0}^{N(t)}Y_j\right\}_{t\ge 0}, \] es un proceso Poisson compuesto y cumple las propiedades de tener incrementos independientes y estacionarios, véase por ejemplo Panjer y Willmot (1992), págs. 82–83. Esto implica que \(\left\{U(t)\right\}_{t\ge 0}\) también tiene incrementos independientes y estacionarios. Una consecuencia de lo anterior es la igualdad de probabilidades siguiente, la cual es muy usada en la derivación de varias fórmulas relacionadas a la probabilidad de ruina, \begin{equation} P\left(\tau < \infty \mid \tau > x , U(x)= y, U(0) = u\right) = P( \tau < \infty \mid U(0) = y ); \quad x, y > 0. \end{equation}

2.Probabilidad de ruina a partir de la ecuación integral.

Proposición.

Supongamos el modelo de Cramér-Lundberg, entonces para \(u\ge 0\) se cumple que, \begin{equation} \psi(u) =\frac{1}{1+\theta}\left[\frac{1}{\mu}\int_{u}^{\infty}{\overline{F}(y)dy} +\frac{1}{\mu}\int_{0}^{u}{\psi(u-y)\overline{F}(y)dy}\right]. \end{equation}

Notar que, en particular \(\psi(0)= \frac{1}{1+\theta}\).

Dem: Véase Gerber (1979) págs. 114 y 115.

Ejemplo.

Calcular \(\psi(u)\) a partir de la ecuación integral cuando el tamaño de los reclamos tiene distribución \(Exp(\alpha)\).

Sol: Primero hay que notar lo siguiente.

• Como \(Y\sim Exp(\alpha)\), entonces \(E(Y) = \mu = 1/\alpha\) y \(\overline{F}(x)=e^{-\alpha x}\).
• Por el punto anterior, \[\frac{1}{\mu}\int_{u}^{\infty}\overline{F}(y)dy = \alpha\int_{u}^{\infty}e^{-\alpha y}dy = e^{-\alpha u}.\]
• Por otro lado, haciendo el cambio de variable \(z=u-y\) se llega a la siguiente igualdad, \[\int_{0}^{u}\psi(u-y)\overline{F}(y)dy=\int_{0}^{u}\psi(z)\overline{F}(u-z)dz= e^{-\alpha u}\int_{0}^{u}\psi(z)e^{\alpha z}dz.\]

Tomando en cuenta los puntos anteriores la ecuación integral toma la siguiente forma: \begin{eqnarray} \psi(u) &=&\frac{1}{1+\theta}\left[\frac{1}{\mu}\int_{u}^{\infty}{\overline{F}(y)dy} +\frac{1}{\mu}\int_{0}^{u}{\psi(u-y)\overline{F}(y)dy}\right]\\ &=&\frac{1}{1+\theta}\left[e^{-\alpha u} +\alpha e^{-\alpha u}\int_{0}^{u}\psi(z)e^{\alpha z}dz\right]\\ &=&\frac{e^{-\alpha u}}{1+\theta}\left[1 +\alpha \int_{0}^{u}\psi(z)e^{\alpha z}dz\right]. \end{eqnarray} Derivamos con respecto a \(u\) y usando el teorema fundamental del cálculo (véase por ejemplo, Spivak (1994) pág. 268), \begin{eqnarray} \psi^\prime(u) &=& -\alpha\frac{e^{-\alpha u}}{1+\theta} \left[1+\alpha\int_{0}^{u}\psi(z)e^{\alpha z}dz\right]+ \frac{e^{-\alpha u}}{1+\theta} \left[\alpha \psi(u)e^{\alpha u}\right]\\ &=& -\alpha\psi(u)+\frac{\alpha}{1+\theta}\psi(u)\\ &=& -\frac{\alpha\theta}{1+\theta}\psi(u). \end{eqnarray}

Así, hemos convertido el problema de la ecuación integral en una EDO de primer grado, usando la notación \(y:=y(u)=\psi(u)\) y \(k=-\frac{\alpha\theta}{1+\theta}\), tenemos la siguiente EDO, sujeta a una condición inicial: \[y^\prime = ky,\qquad y(0)=\frac{1}{1+\theta}.\] Este es un problema trivial que da como solución única \(y(u)= y(0)\cdot e^{ku}\), por lo tanto, \[\psi(u) = \frac{1}{1+\theta}exp\left(-\frac{\alpha\theta}{1+\theta}u\right).\]

Ejercicio.

Calcular \(\psi(u)\) a partir de la ecuación integral cuando el tamaño de los reclamos tiene como función de densidad la siguiente mezcla de exponenciales. \[f(x)= \frac{1}{2}e^{-x}+e^{-2x}, \quad x>0.\] Suponer que \(c = \lambda = 1\).

Ayudas:

• Notar que \(\mu = 3/4\) por lo cual, si \(c = (1+\theta)\lambda\mu\) entonces \(\theta = 1/3\).
• Notar que \(\overline{F}(y)=\frac{1}{2}(e^{-x}+e^{-2x})\).
• Seguir la estrategia del ejemplo hasta llegar a una EDO de 2o grado y resolverla.

Referencias.

1.Asmussen, S. y Albrecher, H. (2010). Ruin probabilities, 2nd. Ed. World scientific.

2.Gerber, H. U. (1979). An introduction to mathematical risk theory. SS Huebner Foundation for Insurance Education.

3.Panjer, H. H., y Willmot, G. E. (1992). Insurance risk models. Society of Actuaries.

4.Spivak, M. (1994). Calculus, 3rd. Ed. Publish or Perish.