Sumas Compuestas I

Sumas Compuestas

David J. Santana

15 de noviembre de 2016

1.Sumas compuestas.

Definición 1.

Sea \(N\) una variable aleatoria discreta no negativa e independiente de \(Y_1, Y_2, \ldots,\) una sucesión de variables aleatorias no negativas independientes con idéntica función de distribución \(F\). Entonces la variable aleatoria \[S=\sum_{j=1}^N Y_j,\] es conocida como suma compuesta. Si \(N=0\), entonces definimos \(S=0\). A las variables aleatorias \(Y_j's\) les llamaremos severidades y a \(N\), variable aleatoria de conteo.

Proposición 1.

Si \(S\) es una suma compuesta como en la Definición 1, entonces,

1. su transformada de Laplace-Stieltjes está dada por, \[\mathcal{l}_S(s) = P_N(\mathcal{l}(s)),\] donde \(P_N(t)=E(t^N)\) es la función generadora de probabilidad de \(N\) y \(\mathcal{l}(\cdot)\) es la transformada de Laplace-Stieltjes común de las severidades.

2. su función de distribución está dada por, \[F_S(x)=\sum_{n=0}^\infty F^{*n}(x)P(N=n),\] donde \(F^{*n}(x)=P(Y_1+\ldots+Y_n\le x)\) para \(n\ge 1\) y \(F^{*0}(x):=1\) para \(x\ge 0\) y \(F^{*0}(x):=0\) para \(x< 0\).

Dem: Véase por ejemplo Panjer y Willmot (1992), págs. 51 y 52.

Para una breve introducción al tema y definiciones de la transformada de Laplace-Stieltjes, véase este artículo.

Observación 1.

Supongamos que \(S\) es una suma geométrica compuesta, es decir, una suma compuesta cuya variable de conteo tiene distribución \(Geo(p)\), \[P(N=n)=p(1-p)^n, \quad n = 0,1,2,\ldots,\] y supongamos que las severidades tienen transformada de Laplace-Stieltjes \(\mathcal{l}(\cdot)\). Entonces la transformada de Laplace-Stieltjes de \(S\) está dada por, \[\mathcal{l}_S(s) = \frac{p}{1-(1-p)\mathcal{l}(s)}.\]

Ejemplo 1.

Supongamos que \(S\) es una suma compuesta cuya variable de conteo tiene distribución \(Geo(p)\) y las severidades tienen distribución \(Exp(\alpha)\). Como la función generadora de momentos exponencial es \(M(s)=(1-s/\alpha)^{-1}\) y por tanto \(\mathcal{l}(s)=(1+s/\alpha)^{-1}\), entonces sustituyendo en \(\mathcal{l}_S(s)\) de la Observación 1, \begin{eqnarray} \mathcal{l}_S(s) &=& \frac{p}{1-(1-p)\mathcal{l}(s)}\\ &=& \frac{p}{1-(1-p)(1+s/\alpha)^{-1}}\\ &=& p + \frac{1-p}{1+s/(\alpha p)}. \end{eqnarray}

Por lo tanto, \[\mathcal{l}_S(s) = p + (1-p)\mathcal{l}_Z(s),\] donde \(\mathcal{l}_Z(s)=[1+s/(\alpha p)]^{-1}\) es la transformada de Laplace-Stieltjes de una variables aleatoria \(Z\sim Exp(\alpha p)\).

Ejemplo 2.

Supongamos que el número de lluvias en Tabasco para el año 2017 se modela con una distribución \(Geo(0.0032)\) y supongamos que el tamaño de cada lluvia se modela como una v.a. \(Y\sim Exp(1/57)\), ¿cuál es la probabilidad de que en el 2017 llueva en total más de 12000 mm de agua?

Solución: Sean \(N\sim Geo(p);\quad Y\sim Exp(\alpha)\), \(q=1-p\) y \(x>0\), \begin{eqnarray*} F_S(0)&=&P(S\le 0)=P(S=0)=P(N=0)=p.\\ &&\\ F_S(x)&=&\sum_{n=0}^\infty F^{*n}(x) P(N=n)\\ &=&p+\sum_{n=1}^\infty \left[1-\sum_{i=0}^{n-1} e^{-\alpha x} \frac{(\alpha x)^i}{i!} \right] p\cdot q^n\\ &=&1-pe^{-\alpha x}\sum_{i=0}^\infty \frac{(\alpha x)^i}{i!} \sum_{n=i+1}^\infty q^n\\ &=&1-qe^{-\alpha p x}. \end{eqnarray*} Entonces, \begin{eqnarray*} P(S>12000)&=&1-F_S(12000),\\ &&\\ F_S(12000)&=&1-0.9968 e^{-0.0032\cdot 12000/57}\\ &=&0.4918046.\\ &&\\ \therefore P(S>12000)&=&0.5081954. \end{eqnarray*}

Solución usando simulación.

ns=100000; s=1; set.seed(2016)
x=12000; p=0.0032; a=1/57
N=rgeom(ns,p)
for(i in 1:ns){
  if(N[i]==0){s[i]=0}else{s[i]=sum(rexp(N[i],a))}
}
sim=1*(s<=x)
1-mean(sim)

## [1] 0.50677

Referencias.

1.Panjer, H. H., y Willmot, G. E. (1992). Insurance risk models. Society of Actuaries.

2.Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V., y Teugels, J. (1999). Stochastic Processes for Finance and Insurance. Willey, New York.

3.Schiff, J. L. (1999). The Laplace Transform. Undergraduate Texts in Mathematics.