Transformada de Laplace

David J. Santana

13 de noviembre de 2016

1.La transformada de Laplace.

Definición 1.

Sea \(f\) una función con dominio en el intervalo \((0,\infty)\), definimos y denotamos su transformada de Laplace como \[\mathcal{L}_f(s) = \int_0^{\infty}e^{-sx}f(x)dx,\] siempre y cuando la integral converja para \(s\in A\subset \mathbb{C}\). Si dicha integral no existe para ningún valor \(s\in \mathbb{C}\), decimos que no existe transformada de Laplace de \(f\), véase Schiff (1999), pág. 2.

Definición 2.

Sea \(X\) una variable aleatoria con función de distribución continua \(F\) con \(F(0)=0\), definimos y denotamos su transformada de Laplace-Stieltjes como \[\mathcal{l}_X(s) = \int_0^{\infty}e^{-sx}dF(x) = M_X(-s),\] es decir, \(\mathcal{l}_X(s)\) es igual a la función generadora de momentos de \(X\) evaluada en \(-s\), véase Panjer y Willmot (1992), pág. 34.

En caso de que la variable aleatoria \(X\) sea absolutamente continua con función de densidad \(f\), entonces, \[\mathcal{l}_X(s) = \mathcal{L}_f(s).\]

2.Algunas transformadas de Laplace básicas.

Las siguientes transformadas se pueden calcular de manera sencilla, sin resolver la integral directamente, sino completando alguna función de densidad exponencial o gamma.

• Supongamos que \(f(x)=k\), para toda \(x>0\) y \(k\) constante. Entonces, \[\mathcal{L}_f(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-sx}kdx=\frac{k}{s},\quad s>0.\]
• Supongamos que \(f(x)=x^n\), para toda \(x>0\) y \(n\in \mathbb{N}\). Entonces, \[\mathcal{L}_f(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-sx}x^ndx=\frac{n!}{s^{n+1}},\quad s>0.\]
• Supongamos que \(f(x)=e^{-\alpha x}\), para toda \(x>0\) y \(\alpha\ge 0\) constante. Entonces, \[\mathcal{L}_f(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-sx}e^{-\alpha x}dx=\frac{1}{s+\alpha},\quad s>-\alpha.\]
• Supongamos que \(f(x)=x^ne^{-\alpha x}\), para toda \(x>0\), \(n\in \mathbb{N}\) y \(\alpha\ge 0\) constante. Entonces, \[\mathcal{L}_f(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-sx}x^ne^{-\alpha x}dx=\frac{n!}{(s+\alpha)^{n+1}},\quad s>-\alpha.\]
• Supongamos que \(f(x)=\alpha g(x)+\beta h(x)\), para toda \(x>0\) y \(\alpha, \beta \ge 0\) constantes. Entonces se cumple la linealidad, \[\mathcal{L}_f(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-sx}(\alpha g(x)+\beta h(x))dx= \alpha\mathcal{L}_g(s)+\beta\mathcal{L}_h(s),\] para los valores de \(s\) tales que \(\mathcal{L}_g(s)\) y \(\mathcal{L}_h(s)\) existan.

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• Ahora supongamos que \(f(x)=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i e^{-\beta_i x}\), para toda \(x>0\) y \(\alpha_i, \beta_i \ge 0\) constantes. Entonces \[\mathcal{L}_f(s)=\sum_{i=1}^{n}\frac{\alpha_i}{s+\beta_i},\quad s>\max_i\left\{-\beta_i\right\}.\]

3.Inversa de la transformada de Laplace.

Invertir una transformada de Laplace \(\mathcal{L_f}\) quiere decir descubrir cómo es la función f(x) relacionada, dada una transformada de Laplace \(\mathcal{L}\), su inversa se denota por \(\mathcal{L}^{-1}(x)\). A partir de las transformadas de la Sección 2 podemos escribir las siguientes inversas.

• Supongamos que \(\mathcal{L}(s)=\frac{k}{s}, s>0\). Entonces, \[\mathcal{L}^{-1}(x)=k, \quad x>0\text{ y } k \text{ cte}.\]
• Supongamos que \(\mathcal{L}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}, s>0\). Entonces, \[\mathcal{L}^{-1}(x)=x^n, \quad x>0 \text{ y } k \text{ cte}.\]
• Supongamos que \(\mathcal{L}(s)=\frac{1}{s+\alpha}, s>-\alpha\). Entonces, \[\mathcal{L}^{-1}(x)=e^{-\alpha x}, \quad x>0 \text{ y } \alpha>0 \text{ cte}.\]
• Supongamos que \(\mathcal{L}(s)=\frac{n!}{(s+\alpha)^{n+1}}, s>-\alpha\). Entonces, \[\mathcal{L}^{-1}(x)=x^ne^{-\alpha x}, \quad x>0 \text{ y } \alpha>0 \text{ cte}.\]
• Supongamos que \(\mathcal{L}(s)=\mathcal{L_1}(s)+\mathcal{L_2}(s)\). Entonces, \[\mathcal{L}^{-1}(x)=\mathcal{L_1}^{-1}(x)+\mathcal{L_2}^{-1}(x), x>0.\]

4.Técnica de las fracciones parciales.

Como se vio antes, si \(\mathcal{L}(s)=\frac{n!}{(s+\alpha)^{n+1}}, s>-\alpha\), entonces, \[\mathcal{L}^{-1}(x)=x^ne^{-\alpha x}, \quad x>0 \text{ y } \alpha>0 \text{ cte}.\] A los cocientes del tipo \(\frac{n!}{(s+\alpha)^{n+1}}, s>-\alpha\) les llamaremos cocientes del tipo 1. La idea ahora es que si \(\mathcal{L}\) es un cociente de polinomios, podemos calcular su inversa si podemos representar dicho cociente como suma de cocientes de tipo 1. Se usará entonces la técnica de fracciones parciales, véase por ejemplo Schiff (1999), págs. 35–39.

Ejemplo 1.

Supongamos que \[\mathcal{L}(s)=\frac{s}{s^3-2s^2-5s+6}.\] Este polinomio puede escribirse como sigue: \[\mathcal{L}(s)=\frac{s}{(s-1)(s+2)(s-3)},\] y encontramos su representación como suma de cocientes usando la técnica de fracciones parciales, para revisar detalles del método ver Spivak (1994), págs. 350–354. Entonces, \[\frac{s}{(s-1)(s+2)(s-3)}=-\frac{1/6}{s-1}-\frac{2/15}{s+2}+\frac{3/10}{s-3},\] por lo tanto, \[\mathcal{L}^{-1}(x)=-\frac{1}{6}e^{x}-\frac{2}{15}e^{-2x}+\frac{3}{10}e^{3x}.\]

Definición 3.

Una función \(f\) es llamada función racional si se puede expresar como cociente de polinomios tales que el polinomio del numerador es de un grado menor al del denominador, para ser precisos,
\[f(x)= \frac{P_n(x)}{Q_m(x)},\] donde \(P_n(x)=\sum_{i=0}^n \alpha_i x^i\) y \(Q_m(x)=\sum_{i=0}^m \beta_i x^i\) para \(n<m\).

Proposición.

Fórmula de expansión de Heaviside. Sean \(P_n(x)\) y \(Q_m(x)\) polinomios como en la Definición 3 y supongamos una transformada de Laplace racional, es decir, \[\mathcal{L}(s)=\frac{P_n(s)}{Q_m(s)}.\] Si \(Q_m(x)\) tiene \(m\) distintos ceros \(r_k, k=1,\ldots, m\) (i.e. \(Q_m(r_k)=0\)), entonces \[\mathcal{L}^{-1}(x)=\sum_{k=1}^{m}\frac{P_n(r_k)}{Q^{\prime}_m(r_k)}e^{r_k x}.\]

Ejemplo 2.

De nuevo como en el Ejemplo 1, supongamos que \[\mathcal{L}(s)=\frac{s}{s^3-2s^2-5s+6}.\] Entonces \(Q_3(s) = s^3-2s^2-5s+6 = (s-1)(s+2)(s-3)\), este polinomio tiene 3 raíces distintas: \(r_1 = 1, r_2 = -2, r_3 = 3\). Aplicando la fórmula de expansión de Heaviside, \(Q_3^{\prime}(s)=3s^2-4s-5\), y

\[\mathcal{L}^{-1}(x)=\sum_{k=1}^{3}\frac{P_1(r_k)}{Q^{\prime}_3(r_k)}e^{r_k x},\] esto implica, \[\mathcal{L}^{-1}(x)=-\frac{1}{6}e^{x}-\frac{2}{15}e^{-2x}+\frac{3}{10}e^{3x}.\]

Referencias.

1. Panjer, H. H., y Willmot, G. E. (1992). Insurance risk models. Society of Actuaries.
2. Schiff, J. L. (1999). The Laplace Transform. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer.
3. Spivak, M. (1994). Calculus, 3rd. Ed. Publish or Perish.